Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả (2024) chi tiết nhất | Toán lớp 10

Bất đẳng thức Cô-si và hệ ngược cụ thể nhất - Toán lớp 10

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả (2024) chi tiết nhất | Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổ hợp.

- Định lí: Trung bình nhân của nhì số ko âm nhỏ rộng lớn hoặc vì như thế khoảng nằm trong của bọn chúng.

$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\forall a,b\ge 0$

Đẳng thức $\sqrt{ab}=\frac{a+b}{2}$ xẩy ra khi và chỉ khi a = b.

- Các hệ quả:

+ Tổng của một trong những dương với nghịch ngợm hòn đảo của chính nó to hơn hoặc vì như thế 2.

$a+\frac{1}{a}\ge 2$,$\forall a>0$

+ Nếu x, hắn nằm trong dương và đem tổng ko thay đổi thì tích (xy) rộng lớn nhất lúc và chỉ khi x = hắn.

+ Trong toàn bộ những hình chữ nhật đem nằm trong chu vi, hình vuông vắn đem diện tích S lớn số 1.

+ Nếu x, hắn nằm trong dương và đem tích ko thay đổi thì tổng (x + y) nhỏ nhất lúc và chỉ khi x = hắn.

+ Trong toàn bộ những hình chữ nhật đem nằm trong diện tích S, hình vuông vắn đem chu vi nhỏ nhất.

II. Các công thức.

$\forall x,y>0$ , nếu như $(x+y)$ ko thay đổi thì ${(x.y)}_{\max }\iff x=y$.

$\forall x,y>0$ , nếu như $(x.y)$ ko thay đổi thì ${(x+y)}_{\min }\iff x=y$.

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho a, b là số dương vừa lòng $a^2+b^2=2$. Chứng minh rằng: $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\ge 4$.

Lời giải:

Khi a, b là số dương $\Rightarrow \frac{a}{b}>0$, $\frac{b}{a}>0$, $\frac{a}{b^2}>0$,$\frac{b}{a^2}>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si tớ có:

Mặt không giống tớ có:

$2=a^2+b^2\ge 2\sqrt{a^2{b}^2}=2ab$

$\Rightarrow ab\le 1$ (2)

Từ (1) và (2) tớ có: $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\ge 4$ (điều cần được hội chứng minh)

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Bài 2: Cho a, b, c, d là số dương. Chứng minh rằng: $\left(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{d^3}+\frac{d}{a^3}\right)\left(a+b\right)\left(c+d\right)\ge 16$.

Lời giải:

Xem thêm: 999+ Avatar đẹp cho nhóm Mang lại sự thống nhất và đồng đều cho đội nhóm của bạn

Vì a, b, c, d là số dương nên tớ có: $\frac{a}{b^3}>0$, $\frac{b}{c^3}>0$, $\frac{c}{d^3}>0$,$\frac{d}{a^3}>0$

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si mang đến tư số dương tớ có:

Lại đem, tự a, b, c, d dương nên:

(điều cần được hội chứng minh).

Bài 3: Cho nhì số dương c, d. Tìm độ quý hiếm lớn số 1 hoặc độ quý hiếm nhỏ nhất của những biểu thức trong số tình huống sau:

a) c + d = 6 luôn luôn ko thay đổi, mò mẫm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức A = (c + d).cd ;

b) c.d = 5 luôn luôn ko thay đổi, mò mẫm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $B=\frac{c+d}{c^2{d}^2}$.

Lời giải:

a)

Ta có: A = (c + d).cd = 6cd vì như thế (c + d) = 6 luôn luôn ko thay đổi.

Áp dụng hệ ngược của bất đẳng thức Cô-si tớ có:

Vậy độ quý hiếm lớn số 1 của A là 54 khi c = d = 3.

b)

Ta có: $B=\frac{c+d}{c^2{d}^2}=\frac{c+d}{5^2}=\frac{c+d}{25}$ vì như thế c.d = 5 luôn luôn ko thay đổi.

Áp dụng hệ ngược của bất đẳng thức Cô-si tớ có:

Vậy độ quý hiếm nhỏ nhất của B là $\frac{2\sqrt{5}}{25}$ khi c = d = $\sqrt{5}$.

IV. Bài tập dượt tự động luyện.

Bài 1: Cho a, b, c là số dương vừa lòng $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\le 3$.

Bài 2: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}$.

Xem thêm thắt tổ hợp công thức môn Toán lớp 10 không thiếu thốn và cụ thể khác:

Các đặc điểm của bất đẳng thức lớp 10 không thiếu thốn, cụ thể

Bất đẳng thức chứa chấp lốt độ quý hiếm vô cùng cụ thể nhất

Xem thêm: Đổi số thành chữ trong Excel tự động nhanh chóng, hiệu quả

Dấu của nhị thức số 1 cụ thể nhất

Công thức giải bất phương trình một ẩn cụ thể nhất

Công thức giải bất phương trình chứa chấp lốt độ quý hiếm vô cùng cụ thể nhất