DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – i} \right| = 3\) và \(\overline z \left( {z + 2i} \right)\) là số thực?
A.\(0\).
B. \(1\).
C. \(2\).
D. \(4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử số phức \(z = a + bi\), \(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Suy ra \(\overline z = a – bi\). Khi đó, ta có:
+) \(\left| {z – i} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left| {z – i} \right|^2} = 9 \Leftrightarrow {\left| {a + \left( {b – 1} \right)i} \right|^2} = 9 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = 9\mathop {}\limits^{} \left( 1 \right)\).
+) \(\overline z \left( {z + 2i} \right) = \left( {a – bi} \right)\left[ {a + \left( {b + 2} \right)i} \right] = {a^2} + a\left( {b + 2} \right)i – abi + b\left( {b + 2} \right)\)
\( = \left( {{a^2} + {b^2} + 2b} \right) + \left( {ab + 2a – ab} \right)i = \left( {{a^2} + {b^2} + 2b} \right) + 2ai\)
Để số phức \(\overline z \left( {z + 2i} \right)\) là số thực thì ta phải có \(2a = 0 \Leftrightarrow a = 0\mathop {}\limits^{} \left( 2 \right)\).
Thế \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\), ta được: \({\left( {b – 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b – 1 = 3\\b – 1 = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 4\\b = – 2\end{array} \right.\).
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(z = 4i\) hoặc \(z = – 2i\).