Công thức Nhị thức Newton đầy đủ

By Admin 27/03/2024 0

Công thức giải Toán 11

VnDoc.com nài trình làng cho tới chúng ta học viên tư liệu Công thức Nhị thức Newton Toán 11. Sở tư liệu tổ hợp các công thức khai triển Nhị thức Newton, tam giác Pascal và những bài xích tập dượt ví dụ minh họa được bố trí theo hướng dẫn cụ thể giúp đỡ bạn hiểu gia tăng và nâng lên kỹ năng và kiến thức Giải Tích 11... Mời chúng ta nằm trong tìm hiểu thêm cụ thể nội dung bài viết sau đây. Chúc chúng ta ôn tập dượt hiệu quả!

Bạn đang xem: Công thức Nhị thức Newton đầy đủ

Bản quyền thuộc sở hữu VnDoc.
Nghiêm cấm từng mẫu mã sao chép nhằm mục đích mục tiêu thương nghiệp.

I. Công thức Nhị thức Newton cơ bạn dạng và nâng cao

1. Tổ phù hợp là gì?

Định nghĩa: Giả sử tập dượt A cơ n thành phần. Mỗi tập dượt con cái bao gồm k thành phần của A được gọi là một trong những tổng hợp chập k của n thành phần đang được mang đến.

Kí hiệu: C_{n}^{k} là số tổng hợp chập k của n thành phần \left( 0\le k\le n \right). Ta sở hữu lăm le lí, số những tổng hợp chập k của n thành phần đang được mang đến.

C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=\frac{\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}

- Tính hóa học chập k của n phần tử: C_{n}^{k}

2. Công thức Nhị thức Newton

a. Định lí: Với \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} với cặp số \left( a,b \right)ta có:

{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}}{{b}^{k}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n-1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}

b. Hệ quả

Hệ quả: {{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+{{x}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{x}^{n}}C_{n}^{n}

- Từ hệ ngược bên trên tao rút được những sản phẩm sau đây:

{{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}

C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=0

c. Nhận xét

Trong khai triển Newton {{\left( a+b \right)}^{n}} sở hữu đặc thù sau:

- Gồm n + một trong những phần tử.

- Số nón của a hạn chế kể từ n cho tới 0 và số nón của b tăng kể từ 0 cho tới n.

- Tổng số nón của a và b trong những số hạng vị n .

- Các thông số sở hữu tính đối xứng C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\left( 0\le k\le n \right).

- Số hạng tổng quát: {{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{b-k}}{{b}^{k}}

Chú ý:

3. Các công thức tương quan cho tới khai triển nhị thức Newton

4. Một số công thức thông thường người sử dụng trong số bài xích tập

5. Công thức Newton há rộng

6. Dấu hiệu dùng nhị thức Newton

a. Chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức nhưng mà có: \sum\limits_{i=1}^{n}{C_{n}^{1}}

b. Biểu thức sở hữu \sum\limits_{i=1}^{n}{i\left( i-1 \right)C_{n}^{i}} thì người sử dụng đạo hàm

c. Biểu thức sở hữu \sum\limits_{i=1}^{n}{\left( i+k \right)C_{n}^{i}} thì tao nhân nhị vế với {{x}^{k}} rồi lấy đạo hàm

d. Biểu thức sở hữu \sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}^{k}}.C_{n}^{i}} thì tao lựa chọn độ quý hiếm x=a mến hợp

e. Biểu thức sở hữu \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i-1}.C_{n}^{i}} tao lấy tích phân xác lập bên trên \left[ a,b \right] mến hợp

7. Tam giác Pascal

n=0                                            1

n=1                                   1              1

n=2                         1                2                1

n=3             1                   3              3                 1

n=4  1                   4                6                4                1

Tam giác Pascal được thiết lập theo đuổi quy luật

- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo đuổi là mặt hàng loại nhất ghi nhị số 1

- Nếu biết mặt hàng loại n thì mặt hàng loại n + 1 tiếp theo sau được thiết lập bằng phương pháp nằm trong nhị số tiếp tục của mặt hàng loại n rồi viết lách sản phẩm xuống mặt hàng bên dưới ở địa điểm thân mật nhị số này. Sau tê liệt viết lách số 1 ở đầu và cuối mặt hàng.

II. Bài tập dượt ví dụ minh họa về nhị thức Newton

Ví dụ 1: Viết khai triển theo đuổi công thức nhị thức Newton:

a. {{\left( a+2b \right)}^{5}}
b. {{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}
c. {{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}

Hướng dẫn giải

a. Khai triển Newton của {{\left( a+2b \right)}^{5}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{\left( 2b \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{.2}^{k}}.{{b}^{k}}}

{{\left( a+2b \right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}2b+...+C_{5}^{5}32{{b}^{5}}

Xem thêm: Thảm tập Manduka Begin Yoga Mat 5mm - Dark Pink • YCB

b. Khai triển Newton của {{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{a}^{6-k}}{{\left( \sqrt{2} \right)}^{k}}}

{{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=C_{6}^{0}{{a}^{6}}+C_{6}^{1}{{a}^{5}}.\sqrt{2}+C_{6}^{2}{{a}^{4}}.2+...+C_{6}^{6}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{6}}

c. Khai triển Newton của {{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.{{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{{x}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{10-2k}}}}

Ví dụ 2: Tìm thông số của {{x}^{7}} nhập khai triển biểu thức {{\left( 1-2x \right)}^{10}}

Hướng dẫn giải

Ta có: f\left( x \right)={{\left( 1-2x \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{.1}^{10-k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}}

Số hạng chứa chấp {{x}^{7}} nhập khai triển ứng với k = 7. Khi tê liệt thông số của số hạng chứa chấp {{x}^{7}}: C_{10}^{7}.{{\left( -2 \right)}^{7}}=-15360

Ví dụ 3: Tìm thông số ko chứa chấp x nhập khai triển sau: {{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{n}}biết rằng: C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,x>0

Hướng dẫn giải

Ta có: C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,n>2

\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(n-n+1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( n-2+2 \right)!}=78

\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( 2 \right)!}=78

\Leftrightarrow n+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} n=12\left( TM \right) \\ n=-13\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.

Do tê liệt biểu thức khai triển là {{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{12-k}}{{\left( -\frac{2}{x} \right)}^{k}}}

=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-3k}}.{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-4k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}

Số hạng ko chứa chấp x ứng với k: 36-4k=0\Leftrightarrow k=9

Số hạng ko chẳng x là: C_{12}^{9}.{{\left( -2 \right)}^{9}}=-112640

Ví dụ 4: Xét khai triển: {{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}

a. Viết số hạng loại k + một trong các khai triển.

b. Số hạng nào là nhập khai triển ko chứa chấp x.

c. Xác lăm le thông số của \[{{x}^{4}}\]trong khai triển.

Hướng dẫn giải

{{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{\left( 2x \right)}^{20-k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{2}^{20-k}}{{x}^{20-2k}}}

Số hạng ko chứa chấp x nhập khai triển ứng với k là: 20-2k=0\Leftrightarrow k=10

Số hạng ko chứa chấp x nhập khai triển là: C_{20}^{10}{{.2}^{10}}

Số hạng chứa chấp {{x}^{4}} nhập khai triển ứng với k là: 20-2k=4\Leftrightarrow k=8

Vậy số hạng chứa chấp {{x}^{4}} nhập khai triển sở hữu thông số là: C_{20}^{8}{{.2}^{12}}

Ví dụ 5: Tính tổng: S=\frac{1}{2}C_{n}^{0}-\frac{1}{4}c_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}-\frac{1}{8}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{2\left( n+1 \right)}C_{n}^{n}

Hướng dẫn giải

Ta có: S=\frac{1}{2}\left( C_{n}^{0}-\frac{1}{2}c_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{3}-\frac{1}{4}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{n+1}C_{n}^{n} \right)

Vì \frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n+1}^{k+1}

\Leftrightarrow S=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k+1}}=\frac{-1}{2\left( n+1 \right)}\left( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k}-C_{n+1}^{0}} \right)=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}

III. Bài tập dượt tự động luyện

Bài 1: Viết khai triển theo đuổi công thức nhị thức Newton:

a. {{\left( 1+2x \right)}^{20}}

b.{{\left( x+\frac{1}{3x} \right)}^{11}}

c. {{\left( \sqrt{x}-4x+6 \right)}^{8}}

d. {{\left( n+2m \right)}^{7}}

Bài 2: Xét khai triển {{\left( 3{{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{30}}

a. Tìm số hạng ko chứa chấp x nhập khai triển.

b. Hệ số của số hạng chứa chấp {{x}^{6}} nhập khai triển.

c. Số hạng loại 11 nhập khai triển.

Bài 3: Tính tổng: S=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+C_{2n}^{6}+...+C_{2n}^{2n}

Bài 4: Tổng những thông số nhị thức Newton nhập khai triển {{\left( 1+x \right)}^{3n}} là 64. Số hạng ko chứa chấp x nhập khai triển {{\left( 2nx+\frac{1}{2nx} \right)}^{2n}}.

Bài 5: Tìm số vẹn toàn dương nhỏ bé nhất n sao mang đến nhập khai triển {{\left( 1+x \right)}^{n}} sở hữu nhị thông số tiếp tục sở hữu tỉ số là 7:15.

Xem thêm: Bộ sưu tập ảnh Avatar đôi siêu xinh, dễ thương cho cặp đôi

--------------------------------------------------

Trên phía trên VnDoc đang được trình làng cho tới độc giả tài liệu: Công thức Nhị thức Newton chan chứa đủ. Bài viết lách mang đến tất cả chúng ta thấy được những công thức Nhị thức Newton cơ bạn dạng và nâng lên, kèm cặp Từ đó là những bài xích tập dượt áp dụng giúp đỡ bạn hiểu rất có thể tập luyện được công thức.... Hi vọng qua quýt nội dung bài viết này độc giả được thêm nhiều tư liệu nhằm tiếp thu kiến thức chất lượng rộng lớn môn Toán lớp 11 nhé. Mời độc giả nằm trong tìm hiểu thêm tăng mục Giải bài xích tập dượt Toán 11

Mời độc giả tìm hiểu thêm tăng một vài tài liệu:

  • Hàm số liên tiếp lớp 11
  • Xét hàm số liên tiếp bên trên một điểm
  • Xét hàm số liên tiếp bên trên một tập
  • Xác lăm le thông số nhằm hàm số liên tục
  • Bảng công thức lượng giác người sử dụng mang đến lớp 10 - 11 - 12
  • Tóm tắt toàn cỗ lý thuyết và công thức Hình học tập 11
  • Trắc nghiệm Toán lớp 11 theo đuổi từng chương