Bộ sưu tập bài tập đạo hàm riêng cấp 2 có lời giải đầy đủ và chi tiết

Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 2 của một hàm số nhị vươn lên là là sự tính đạo hàm riêng rẽ của hàm số cơ chuyến nhị. Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 2 được ký hiệu vày những ký hiệu f”xx, f”xy, f”yx và f”yy.
Định nghĩa đạo hàm riêng cấp 2 theo đuổi khái niệm toán học tập như sau:
- Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 2 f”xx là đạo hàm riêng rẽ của hàm số f theo đuổi vươn lên là x chuyến nhị.
- Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 2 f”xy là đạo hàm riêng rẽ của hàm số f theo đuổi vươn lên là x và sau này lại đạo hàm riêng rẽ theo đuổi vươn lên là nó.
- Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 2 f”yx là đạo hàm riêng rẽ của hàm số f theo đuổi vươn lên là nó và sau này lại đạo hàm riêng rẽ theo đuổi vươn lên là x.
- Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 2 f”yy là đạo hàm riêng rẽ của hàm số f theo đuổi vươn lên là nó chuyến nhị.
Khi tính đạo hàm riêng cấp 2 của một hàm số nhị vươn lên là, tất cả chúng ta nên vận dụng những quy tắc và công thức vẫn biết nhằm tính đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 và dùng bọn chúng nhằm tính đạo hàm riêng cấp 2. Các công thức tương quan cho tới đạo hàm riêng cấp 2 bao hàm quy tắc của Sum, Product, Chain Rule và Quotient Rule.
Quá trình đo lường đạo hàm riêng cấp 2 rất có thể phức tạp và yên cầu kỹ năng và kiến thức và tài năng toán học tập so với hàm số rõ ràng.

Bạn đang xem: Bộ sưu tập bài tập đạo hàm riêng cấp 2 có lời giải đầy đủ và chi tiết

Để tính đạo hàm riêng cấp 2 của một hàm số theo đuổi nhị vươn lên là riêng lẻ là x và nó, tất cả chúng ta đem công thức như sau:
1. Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi vươn lên là x:
- Đặt f là 1 hàm số đem nhị vươn lên là x và nó, tớ tính đạo hàm riêng rẽ của f theo đuổi vươn lên là x bằng phương pháp coi nó là hằng số và tính đạo hàm theo đuổi x như thông thường.
- Khi cơ, tớ ký hiệu đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi vươn lên là x là f\'x(y).
2. Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi vươn lên là y:
- Tương tự động như bên trên, tớ tính đạo hàm riêng rẽ của f theo đuổi vươn lên là nó bằng phương pháp coi x là hằng số và tính đạo hàm theo đuổi nó như thông thường.
- Khi cơ, tớ ký hiệu đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi vươn lên là nó là f\'y(x).
3. Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 2 theo đuổi vươn lên là x:
- Để tính đạo hàm riêng cấp 2 của f theo đuổi vươn lên là x, tớ tính đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 của f\'x(y) theo đuổi vươn lên là x.
- Khi cơ, tớ ký hiệu đạo hàm riêng cấp 2 theo đuổi vươn lên là x là f\'\'xx(y).
4. Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 2 theo đuổi vươn lên là y:
- Tương tự động như bên trên, tớ tính đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 của f\'y(x) theo đuổi vươn lên là nó.
- Khi cơ, tớ ký hiệu đạo hàm riêng cấp 2 theo đuổi vươn lên là nó là f\'\'yy(x).
5. Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 2 theo đuổi nhị vươn lên là x và y:
- Để tính đạo hàm riêng cấp 2 của f theo đuổi vươn lên là x và nó, tớ tính đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 của f\'x(y) theo đuổi vươn lên là nó và của f\'y(x) theo đuổi vươn lên là x.
- Khi cơ, tớ ký hiệu đạo hàm riêng cấp 2 theo đuổi vươn lên là x và nó là f\'\'xy(x,y) = f\'\'yx(x,y).
Mong rằng phân tích và lý giải bên trên khiến cho bạn hiểu về công thức tính đạo hàm riêng cấp 2 theo đuổi nhị vươn lên là x và nó.

Ví dụ về Việc tính đạo hàm riêng cấp 2 của một hàm số:
Cho hàm số f(x, y) = x^3 + 3xy^2 + y^3. Bài toán là tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số này.
Đầu tiên, tớ tính đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi vươn lên là x của hàm số f(x, y). Ta có:
∂f/∂x = 3x^2 + 3y^2
Tiếp theo đuổi, tớ tính đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi vươn lên là nó của hàm số f(x, y). Ta có:
∂f/∂y = 6xy + 3y^2
Sau cơ, tớ tính đạo hàm riêng cấp 2 theo đuổi vươn lên là x của hàm số f(x, y). Để thực hiện điều này, tớ tính đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi vươn lên là x của đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi vươn lên là x của hàm số f(x, y). Ta có:
∂^2f/∂x^2 = 6x
Cuối nằm trong, tớ tính đạo hàm riêng cấp 2 theo đuổi vươn lên là nó của hàm số f(x, y). Để thực hiện điều này, tớ tính đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi vươn lên là nó của đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi vươn lên là nó của hàm số f(x, y). Ta có:
∂^2f/∂y^2 = 6x + 6y
Vậy thành phẩm ở đầu cuối là:
∂^2f/∂x^2 = 6x
∂^2f/∂y^2 = 6x + 6y
Đó là ví dụ về Việc tính đạo hàm riêng cấp 2 của một hàm số.

Xem thêm: Hồng Sến - đạo diễn tài hoa cô độc vào cuối đời

Để giải bài xích tập luyện đạo hàm riêng cấp 2, tớ cần thiết tuân theo quá trình sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi từng vươn lên là.
- Tại trên đây, tất cả chúng ta vẫn đem đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 của hàm số f theo đuổi vươn lên là x và nó.
- Ví dụ: Nếu hàm số f(x, y) = x^2y + 3xy^2, thì tớ có:
∂f/∂x = 2xy + 3y^2
∂f/∂y = x^2 + 6xy
Bước 2: Tìm đạo hàm riêng cấp 2 theo đuổi từng vươn lên là.
- Đối với những vươn lên là x và nó, tớ tính đạo hàm riêng rẽ của đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi vươn lên là cơ.
- Ví dụ: Nếu tớ vẫn tính được ∂f/∂x và ∂f/∂y, thì tớ tính:
∂^2f/∂x^2 = ∂/∂x(∂f/∂x) = 2y
∂^2f/∂y^2 = ∂/∂y(∂f/∂y) = 6x
∂^2f/∂x∂y = ∂/∂y(∂f/∂x) = 2x + 6y
Bước 3: Xác toan những độ quý hiếm của những đạo hàm riêng cấp 2.
- Đánh giá bán những đạo hàm riêng cấp 2 bên trên những vấn đề cần xét.
- Ví dụ: Giả sử f(x, y) = x^2y + 3xy^2, tớ rất có thể tính những độ quý hiếm sau:
∂^2f/∂x^2 = 2y
∂^2f/∂y^2 = 6x
∂^2f/∂x∂y = 2x + 6y
Ta rất có thể review độ quý hiếm của những đạo hàm riêng cấp 2 bên trên một điểm rõ ràng, ví dụ (1, 2):
∂^2f/∂x^2 = 2(2) = 4
∂^2f/∂y^2 = 6(1) = 6
∂^2f/∂x∂y = 2(1) + 6(2) = 14
Như vậy, bên trên điểm (1, 2), tớ có:
∂^2f/∂x^2 = 4
∂^2f/∂y^2 = 6
∂^2f/∂x∂y = 14
Đó là cơ hội giải bài xích tập luyện đạo hàm riêng cấp 2 đem câu nói. giải. Hy vọng câu vấn đáp này rất có thể khiến cho bạn.

Công thức quy tắc tính đạo hàm riêng cấp 2 cho những tình huống đặc biệt quan trọng như sau:
1. Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 2 của hàm số đồng bộ:
- Nếu hàm số f(x, y) đồng nhất (tức là fxy = fyx), tớ đem công thức:
- fxx = (fxy)\'x = (fyx)\'x = fyy
- fxy = fyx
- fyy = (fxy)\'y = (fyx)\'y = fxx
2. Đạo hàm riêng rẽ cung cấp 2 của hàm số ko đồng bộ:
- Nếu hàm số f(x, y) ko đồng nhất (tức là fxy ≠ fyx), tớ đem công thức:
- fxx = (fxy)\'x
- fxy = (fxy)\'y
- fyx = (fyx)\'x
- fyy = (fyx)\'y
Trong tình huống rõ ràng, tớ tiến hành tính đạo hàm riêng cấp 2 bằng phương pháp lấy đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 của đạo hàm riêng rẽ cung cấp 1 theo đuổi từng vươn lên là, theo đuổi loại tự:
1. Tính fxx: Lấy đạo hàm của f theo đuổi vươn lên là x, tiếp sau đó lấy đạo hàm của thành phẩm theo đuổi vươn lên là x một đợt tiếp nhữa.
2. Tính fxy: Lấy đạo hàm của f theo đuổi vươn lên là x, tiếp sau đó lấy đạo hàm của thành phẩm theo đuổi vươn lên là nó.
3. Tính fyx: Lấy đạo hàm của f theo đuổi vươn lên là nó, tiếp sau đó lấy đạo hàm của thành phẩm theo đuổi vươn lên là x.
4. Tính fyy: Lấy đạo hàm của f theo đuổi vươn lên là nó, tiếp sau đó lấy đạo hàm của thành phẩm theo đuổi vươn lên là nó một đợt tiếp nhữa.
Với những công thức và quy tắc bên trên, tớ rất có thể tính được đạo hàm riêng cấp 2 của những hàm số đem nhị vươn lên là.

Xem thêm: Động từ to be trong tiếng Anh: Tổng hợp ĐẦY ĐỦ NHẤT các dạng biến thể và cách sử dụng trong câu