Bộ sưu tập bài tập đạo hàm riêng cấp 2 có lời giải đầy đủ và chi tiết

Đạo hàm riêng cấp 2 của một hàm số hai biến là việc tính đạo hàm riêng của hàm số đó lần hai. Đạo hàm riêng cấp 2 được ký hiệu bằng các ký hiệu f”xx, f”xy, f”yx và f”yy.
Định nghĩa đạo hàm riêng cấp 2 theo định nghĩa toán học như sau:
- Đạo hàm riêng cấp 2 f”xx là đạo hàm riêng của hàm số f theo biến x lần hai.
- Đạo hàm riêng cấp 2 f”xy là đạo hàm riêng của hàm số f theo biến x và sau đó lại đạo hàm riêng theo biến y.
- Đạo hàm riêng cấp 2 f”yx là đạo hàm riêng của hàm số f theo biến y và sau đó lại đạo hàm riêng theo biến x.
- Đạo hàm riêng cấp 2 f”yy là đạo hàm riêng của hàm số f theo biến y lần hai.
Khi tính đạo hàm riêng cấp 2 của một hàm số hai biến, chúng ta phải áp dụng các quy tắc và công thức đã biết để tính đạo hàm riêng cấp 1 và sử dụng chúng để tính đạo hàm riêng cấp 2. Các công thức liên quan đến đạo hàm riêng cấp 2 bao gồm quy tắc của Sum, Product, Chain Rule và Quotient Rule.
Quá trình tính toán đạo hàm riêng cấp 2 có thể phức tạp và đòi hỏi kiến thức và kỹ năng toán học đối với hàm số cụ thể.

Để tính đạo hàm riêng cấp 2 của một hàm số theo hai biến riêng biệt là x và y, chúng ta có công thức như sau:
1. Đạo hàm riêng cấp 1 theo biến x:
- Đặt f là một hàm số có hai biến x và y, ta tính đạo hàm riêng của f theo biến x bằng cách coi y là hằng số và tính đạo hàm theo x như bình thường.
- Khi đó, ta ký hiệu đạo hàm riêng cấp 1 theo biến x là f\'x(y).
2. Đạo hàm riêng cấp 1 theo biến y:
- Tương tự như trên, ta tính đạo hàm riêng của f theo biến y bằng cách coi x là hằng số và tính đạo hàm theo y như bình thường.
- Khi đó, ta ký hiệu đạo hàm riêng cấp 1 theo biến y là f\'y(x).
3. Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x:
- Để tính đạo hàm riêng cấp 2 của f theo biến x, ta tính đạo hàm riêng cấp 1 của f\'x(y) theo biến x.
- Khi đó, ta ký hiệu đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x là f\'\'xx(y).
4. Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y:
- Tương tự như trên, ta tính đạo hàm riêng cấp 1 của f\'y(x) theo biến y.
- Khi đó, ta ký hiệu đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y là f\'\'yy(x).
5. Đạo hàm riêng cấp 2 theo hai biến x và y:
- Để tính đạo hàm riêng cấp 2 của f theo biến x và y, ta tính đạo hàm riêng cấp 1 của f\'x(y) theo biến y và của f\'y(x) theo biến x.
- Khi đó, ta ký hiệu đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x và y là f\'\'xy(x,y) = f\'\'yx(x,y).
Mong rằng giải thích trên giúp bạn hiểu về công thức tính đạo hàm riêng cấp 2 theo hai biến x và y.

Ví dụ về bài toán tính đạo hàm riêng cấp 2 của một hàm số:
Cho hàm số f(x, y) = x^3 + 3xy^2 + y^3. Bài toán là tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số này.
Đầu tiên, ta tính đạo hàm riêng cấp 1 theo biến x của hàm số f(x, y). Ta có:
∂f/∂x = 3x^2 + 3y^2
Tiếp theo, ta tính đạo hàm riêng cấp 1 theo biến y của hàm số f(x, y). Ta có:
∂f/∂y = 6xy + 3y^2
Sau đó, ta tính đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x của hàm số f(x, y). Để làm điều này, ta tính đạo hàm riêng cấp 1 theo biến x của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến x của hàm số f(x, y). Ta có:
∂^2f/∂x^2 = 6x
Cuối cùng, ta tính đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y của hàm số f(x, y). Để làm điều này, ta tính đạo hàm riêng cấp 1 theo biến y của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến y của hàm số f(x, y). Ta có:
∂^2f/∂y^2 = 6x + 6y
Vậy kết quả cuối cùng là:
∂^2f/∂x^2 = 6x
∂^2f/∂y^2 = 6x + 6y
Đó là ví dụ về bài toán tính đạo hàm riêng cấp 2 của một hàm số.

Để giải bài tập đạo hàm riêng cấp 2, ta cần làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm riêng cấp 1 theo từng biến.
- Ở đây, chúng ta đã có đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số f theo biến x và y.
- Ví dụ: Nếu hàm số f(x, y) = x^2y + 3xy^2, thì ta có:
∂f/∂x = 2xy + 3y^2
∂f/∂y = x^2 + 6xy
Bước 2: Tìm đạo hàm riêng cấp 2 theo từng biến.
- Đối với các biến x và y, ta tính đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến đó.
- Ví dụ: Nếu ta đã tính được ∂f/∂x và ∂f/∂y, thì ta tính:
∂^2f/∂x^2 = ∂/∂x(∂f/∂x) = 2y
∂^2f/∂y^2 = ∂/∂y(∂f/∂y) = 6x
∂^2f/∂x∂y = ∂/∂y(∂f/∂x) = 2x + 6y
Bước 3: Xác định các giá trị của các đạo hàm riêng cấp 2.
- Đánh giá các đạo hàm riêng cấp 2 tại các điểm cần xét.
- Ví dụ: Giả sử f(x, y) = x^2y + 3xy^2, ta có thể tính các giá trị sau:
∂^2f/∂x^2 = 2y
∂^2f/∂y^2 = 6x
∂^2f/∂x∂y = 2x + 6y
Ta có thể đánh giá giá trị của các đạo hàm riêng cấp 2 tại một điểm cụ thể, ví dụ (1, 2):
∂^2f/∂x^2 = 2(2) = 4
∂^2f/∂y^2 = 6(1) = 6
∂^2f/∂x∂y = 2(1) + 6(2) = 14
Như vậy, tại điểm (1, 2), ta có:
∂^2f/∂x^2 = 4
∂^2f/∂y^2 = 6
∂^2f/∂x∂y = 14
Đó là cách giải bài tập đạo hàm riêng cấp 2 có lời giải. Hy vọng câu trả lời này có thể giúp bạn.

Công thức quy tắc tính đạo hàm riêng cấp 2 cho các trường hợp đặc biệt như sau:
1. Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số đồng bộ:
- Nếu hàm số f(x, y) đồng bộ (tức là fxy = fyx), ta có công thức:
- fxx = (fxy)\'x = (fyx)\'x = fyy
- fxy = fyx
- fyy = (fxy)\'y = (fyx)\'y = fxx
2. Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số không đồng bộ:
- Nếu hàm số f(x, y) không đồng bộ (tức là fxy ≠ fyx), ta có công thức:
- fxx = (fxy)\'x
- fxy = (fxy)\'y
- fyx = (fyx)\'x
- fyy = (fyx)\'y
Trong trường hợp cụ thể, ta thực hiện tính đạo hàm riêng cấp 2 bằng cách lấy đạo hàm riêng cấp 1 của đạo hàm riêng cấp 1 theo từng biến, theo thứ tự:
1. Tính fxx: Lấy đạo hàm của f theo biến x, sau đó lấy đạo hàm của kết quả theo biến x một lần nữa.
2. Tính fxy: Lấy đạo hàm của f theo biến x, sau đó lấy đạo hàm của kết quả theo biến y.
3. Tính fyx: Lấy đạo hàm của f theo biến y, sau đó lấy đạo hàm của kết quả theo biến x.
4. Tính fyy: Lấy đạo hàm của f theo biến y, sau đó lấy đạo hàm của kết quả theo biến y một lần nữa.
Với các công thức và quy tắc trên, ta có thể tính được đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số có hai biến.