DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – i} \right| = 3\) và \(\overline z \left( {z + 2i} \right)\) là số thực?

A.\(0\). 

B. \(1\). 

C. \(2\). 

D. \(4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Giả sử số phức \(z = a + bi\), \(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Suy ra \(\overline z  = a – bi\). Khi đó, ta có:

+) \(\left| {z – i} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left| {z – i} \right|^2} = 9 \Leftrightarrow {\left| {a + \left( {b – 1} \right)i} \right|^2} = 9 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = 9\mathop {}\limits^{} \left( 1 \right)\).

+) \(\overline z \left( {z + 2i} \right) = \left( {a – bi} \right)\left[ {a + \left( {b + 2} \right)i} \right] = {a^2} + a\left( {b + 2} \right)i – abi + b\left( {b + 2} \right)\)

\( = \left( {{a^2} + {b^2} + 2b} \right) + \left( {ab + 2a – ab} \right)i = \left( {{a^2} + {b^2} + 2b} \right) + 2ai\)

Để số phức \(\overline z \left( {z + 2i} \right)\) là số thực thì ta phải có \(2a = 0 \Leftrightarrow a = 0\mathop {}\limits^{} \left( 2 \right)\).

Thế \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\), ta được: \({\left( {b – 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b – 1 = 3\\b – 1 =  – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 4\\b =  – 2\end{array} \right.\).

Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(z = 4i\) hoặc \(z =  – 2i\).